Límites analíticos

De los ejemplos de límites mediante tablas y gráficas puede notar que la existencia o no del límite en un punto \(c\) no depende del valor \(f\left(c\right)\) de la función en el punto.

Aun cuando la función no existe para algún valor \(c,\) el límite de la función cuando \(x\) se aproxima a \(c\) puede existir y en algunos casos, $$\lim_{x \to c}{f\left(x\right)}=f\left(c\right)$$ esto es, cuando al evaluar \(f\left(c\right)\) en \(f\left(x\right)\) no produce ninguna indeterminación. Para los demás casos es necesario la aplicación de propiedades relacionadas a límites que han sido ya demostradas en la antigüedad y del manejo algebraico.

Algunos límites básicos, para \(c,\ k,\in\mathbb{R}\) y \(n\ \in\mathbb{Z}^+\)

\begin{align} &\textcolor{#ff0080}{1.}~~\lim_{x \to c}{k}=k~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{Límite~de~una~constante.}\\ &\textcolor{#ff0080}{2.}~~\ \lim_{x \to c}{x}=c~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{Límite~ de~ la~ variable} x.\\ &\textcolor{#ff0080}{3.}~~\lim_{x \to c}{x^n}=c^n\ \ \ \ \ ~~~~~~~~~~~~\mathrm{Generalizacion~ de~ la~ afirmación ~anterior.}\\ &\textcolor{#ff0080}{4.}~~\lim_{x \to c}{\sqrt[n]{x}}= \sqrt[n]{c} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{Límite~ de~ una~ raíz,si~} n~\mathrm{es~ par}~ c\geq 0\\ &\textcolor{#ff0080}{5.}~~\lim_{x \to c}{\sqrt[n]{f\left(x\right)}}=\ \sqrt[n]{\lim_{x \to c}{f\left(x\right)}}\ \ \ \ \mathrm{Raíz ~de ~un ~límite,~para} \lim_{x \to c} {f(x)}\geq 0~ \mathrm{si}~n~ \mathrm{es~ par.} \end{align} Ejemplo 8. Uso de límites básicos para el cálculo analítico de límites.
\begin{align} &a)~~\lim_{x\to 3}{5}=5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b)\lim_{x\to -2}{x}=-2\\ &c)~~\lim_{x\to 2}{x^3}=2^3=8\ \ \ \ \ \ d)\lim_{x\to 27}{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[3]{27}=3\end{align} Para la determinación analítica de límites en las mayorías de funciones elementales y trascendentes, se hace necesario el uso de propiedades de límites, en adición a los límites básicos, a continuación, se presentan algunas de estas propiedades las cuales servirán de apoyo en la resolución de los ejercicios.

Propiedades de los límites

Sean \(a,\ b,\ c,\ k,\in\mathbb{R} \ {\rm y} \ n \in\mathbb{Z}^+ {\rm donde}\ f \ {\rm y}\ {\rm g}\) son dos funciones tal que, $$\lim_{x \to c}{f\left(x\right)}=a ~~~\mathrm{y}~~~ \lim_{x \to c}{{\rm g}\left(x\right)}=b$$ entonces son válidas las siguientes afirmaciones: \begin{align} &\textcolor{#ff0080}{1}.~ \mathrm{Múltiplo ~constante.} \lim_{x \to c}{kf\left(x\right)}=k \lim_{x\to c}{f\left(x\right)}=ka\\ &\textcolor{#ff0080}{2}.~~\mathrm{Potencia~ de~ un~ límite}~ \lim_{x \to c}{\left[f\left(x\right)\right]^n=}a^n\\ &\textcolor{#ff0080}{3}.~\mathrm{linealidad~} \lim_{x\to c}{\left[f\left(x\right)\pm~ \mathrm{g}\left(x\right)\right]}=\lim_{x\to c}{f\left(x\right)}\pm~ \lim_{x\to c}{\mathrm{g} \left(x\right)}=a\pm b\\ &\textcolor{#ff0080}{4}.~\mathrm{Límite~ de~ un~ producto.}\\ &\lim_{x\to c}{\left[f\left(x\right) \cdot \mathrm{g}\left(x\right)\right]=}\lim_{x\to c}{f\left(x\right)} \cdot \lim_{x \to c}{\mathrm{g}\left(x\right)}=ab\\ &\textcolor{#ff0080}{5}.~\mathrm{Límite~ de~ un~ cociente}.\\ &\lim_{x \to c}{\left(\frac{f(x)}{\mathrm{g}(x)}\right)}=\frac{\lim_{x \to c}{f(x)}}{\lim_{x \to c}{\mathrm{g}(x)}}=\frac{a}{b}\ \mathrm{donde} \ b\neq0\\ &\textcolor{#ff0080}{6}.~{\rm Límite~ de~ un~ logaritmo~ o~ logaritmo~ de~ un~ límite.}\\ & \lim_{x \to c}{\log_n{f(x)}}=\log_n{\left(\lim_{x\to c}f(x)\right)} \end{align} Ejemplo 9. Límite de un polinomio entero. Determinar \begin{align}&\lim_{x \to 3}{(6x^2+12x-5)}\end{align} Solución: sea \(L\) el límite buscado, aplicando las propiedades se tiene. \begin{align} &L=\lim_{x \to 3}{(6x^2+12x-5)}\\ &L=\lim_{x \to 3}{(6x^2)}+\lim_{x \to 3}{(12x)}-\lim_{x \to 3}{5}~~~~~~~~\mathrm{Por~linealidad}\\ &L=6\lim_{x \to 3}{x^2}+12\lim_{x \to 3}{x}-\lim_{x \to 3}{5}~~~~~~~~~\mathrm{Multiplo~constante.}\\ &L=6(3)^2+12(3)-5 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathrm{Aplicando\ límites\ básicos.}\\ &L=6(9)+36-5=85~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{Realizando\ operaciones.}\\ \end{align} Observe que siendo \(f(x)=6x^2+12x-5\) un polinomio entonces \(\lim_{x \to 3}{f(x)}=f(3)\) esto es, $$\lim_{x \to 3}{(6x^2+12x-5)}= 6(3)^2+12(3)-5 =85$$ lo cual no es una casualidad sino, más bien una propiedad importante para el cálculo de límites la cual se enuncia a como propiedad de sustitución directa

Propiedad de sustitución directa.

Si \(f(x)\) es una función polinomial, y \(c\) un valor cualquiera dentro del dominio de \(f(x)\) entonces, \begin{align}\lim_{x \to c}{f(x)}=f(c)\end{align} siempre que \(f(c)\) esté definida.

Ejemplo. Uso de la propiedad de sustitución directa. Determinar los siguientes límites. \begin{align} &\textcolor{#ff0080}{1}.~~\lim_{x \to 3}{\left(\frac{x+2}{x-2}\right)} ~~~~~~~~~~~~~~ \textcolor{#ff0080}{2}.~~\lim_{x \to 1}{{\frac{4x^4+5}{\left(x^2-2\right)\left(2x^2-1\right)}}}\\ &\textcolor{#ff0080}{3}.~~\lim_{x \to -1}{\frac{x^2-3x+1}{x^2+2}}~~~~~~~\textcolor{#ff0080}{4}.~~ \lim_{x \to 6}{\sqrt{45-x^2}} \end{align} Soluciones: aplicando las propiedades de límites en cada uno de los casos, si no se encuentra ninguna de las restricciones (división entre cero o raíz par de un número negativo) la propiedad de sustitución directa es válida, por tanto, \begin{align} &\textcolor{#ff0080}{1}.~\lim_{x \to 3}{{\left(\frac{x+2}{x-2}\right)}}=\frac{3+2}{3-2}=\frac{5}{1}=5\\ &\textcolor{#ff0080}{2}.~\lim_{x \to 1}{{\frac{4x^4+5}{\left(x^2-2\right)\left(2x^2-1\right)}}}=\frac{4\left(1\right)^4+5}{\left(1^2-2\right)\left(2\left(1\right)^2-1\right)}=\frac{4+5}{-1\left(1\right)}=-9\\ &\textcolor{#ff0080}{3}.~\lim_{x \to -1}{\frac{x^2-3x+1}{x^2+2}}=\frac{\left(-1\right)^2-3\left(-1\right)+1}{\left(-1\right)^2+2}=\frac{5}{3}\\ &\textcolor{#ff0080}{4}.~\lim_{x \to 6}{\sqrt{45-x^2}}=\sqrt{45-6^2}=\sqrt{45-36}=\sqrt9=3\\ \end{align}

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Uso del álgebra para el cálculo de límites analíticos.

En muchos casos la técnica de sustitución directa para el cálculo de límites no funciona, esto es debido a que al sustituir se crea una indeterminación (cero en el denominador o un número negativo dentro de un radical de índice par), la cual no tiene solución para \(\mathbb{R}.\)

En tales casos se deben de usar procedimientos algebraicos como factorización, racionalización, multiplicación del conjugado, entre otros, para tratar de reescribir la función de modo que al realizar la sustitución sea posible el cálculo del límite. Esto es posible ya que existen funciones las cuales coinciden con otra función en todos sus puntos menos uno (el punto donde se ha de determinar el límite).

Funciones que coinciden en todo menos en un punto.

Sea \(c\in\left(a,b\right)\subset\mathbb{R}\) y sea \( f\left(x\right)=\mathrm{g}\left(x\right)\) para todo \(x \neq c\) en \(\left(a,b\right)\) si \( \lim_{x \to c}{\mathrm{g}(x)}\) existe entonces \(\lim_{x \to c}{f(x)}\) también existe y además, $$\lim_{x \to c}{f(x)}=\lim_{x \to c}{\mathrm{g}(x)}$$ Ejemplo. Determinar los límites siguientes de manera analítica. $$a.~~ \lim_{x \to 5}{\frac{x^2-25}{x^2+2x-35}}~~~b.~~\lim_{x \to 1}{\frac{x^3-1}{x^3-7x+6}}~~~c.\ \lim_{x \to 0}{\frac{6x^3-{5x}^6}{3x^5-{2x}^3}}$$ Solución \(a\): la sustitución directa no funciona, para determinar el límite \(L\) factorice numerador y denominador y aplique propiedades de límites. \begin{align} \lim_{x \to 5}{\frac{\left(x+5\right)\left(x-5\right)} {\left(x+7\right)\left(x-5\right)}\Longrightarrow L=\lim_{x \to 5}{\frac{x+5}{x+7}}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}} \end{align} Solución \(b\): la sustitución directa no funciona, factorice numerador y denominador, aplicando la regla de Ruffini tomando como valor de prueba, el valor en el cual desea determinar el límite (uno en este caso), luego aplique propiedades para determinar el valor de límite \(L\). Si se conoce la regla para la diferencia de cubos \(x^3-1\) no es necesario el usar Ruffini en el numerador. \begin{align} &L=\lim_{x \to 1}{\frac{x^3-1}{x^3-7x+6}}\\ &L=\lim_{x \to 1}\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x-6\right)}\\ &L=\lim_{x \to 1}\frac{x^2+x+1}{x^2+x-6}\\ &L=\frac{1^2+1+1}{1^2+1-6}=-\frac{3}{4}\end{align} Solución \(c\): la sustitución directa no funciona, factorice el m.c.d. del denominador, aplique las propiedades y determine el valor \(L\) del límite. \begin{align} &L=\lim_{x \to 0 }\frac{x^3\left(6+5x^3\right)}{x^3\left(3x^2-2\right)}\\ &L=\lim_{x \to 0}\frac{6+5x^3}{3x^2-2}\\ &L=\frac{6+0}{0-2}=\frac{6}{-2}=-3 \end{align} Ejemplo. Dos maneras de encontrar un límite. Determinar $$\lim_{x \to 4}\frac{x^2-16}{\sqrt{x}-2}$$ Solución: la sustitución directa no funciona. A continuación, se presentan dos maneras para realizar el cálculo del límite L.
Resolviendo por racionalización. \begin{align} &L=\lim_{x\to 4}{\frac{x^2-16}{\sqrt x-2}}\cdot \frac{\sqrt x+2}{\sqrt x+2}\\ &L=\lim_{x\to 4}\frac{\left(x^2-16\right)\left(\sqrt x+2\right)}{x-4}\\ &L=\lim_{x\to 4}\frac{\left(x+4\right)\left(x-4\right)\left(\sqrt x+2\right)}{x-4}\\ &L=\lim_{x\to 4}{\left(\left(x+4\right)\left(\sqrt x+2\right)\right)}\\ &L=\left(4+4\right)\left(\sqrt4+2\right)=8\left(4\right)=32\end{align} Resolviendo solo por factorización: \begin{align} &L=\lim_{x\to 4}\frac{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{\sqrt x-2}\\ &L=\lim_{x\to 4}\frac{\left(\sqrt x-2\right)\left(\sqrt x+2\right)\left(x+4\right)}{\sqrt x-2}\\ &L=\lim_{x\to 4}\left(\left(\sqrt x+2\right)\left(x+4\right)\right)\\ &L=4\left(8\right)=32\end{align}

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